Jdi na obsah Jdi na menu
 


3 Podobná zobrazení
Nejdříve si připomeneme definici podobného zobrazení.

Definice: O zobrazení Z: X → X' řekneme, že je to

zobrazení podobné, jestliže existuje kladné reálné číslo k

 tak, že obrazem každé úsečky AB je úsečka A'B', pro

kterou platí |A'B'| = k·|AB|. Číslo k nazýváme koeficient

 podobnosti.

3.1 Vlastnosti podobných zobrazení
Stejně jako shodné zobrazení je jednoznačně zadáno třemi body a jejich obrazy, je i podobné zobrazení takto jednoznačně zadáno.

Věta: Shodné zobrazení je jednoznačně zadané třemi

různými nekolineárními body a jejich obrazy.


Poznámka: Obrazy bodů musí samozřejmě splňovat požadavky pro podobné zobrazení. Trojúhelník určený obrazy bodů musí být podobný trojúhelníku, který určují vzory bodů.

Důkaz: Zvolíme tři nekolineární body A, B, C. Dále k nim vhodně zvolíme jejich obrazy A', B', C' tak, aby platilo: |AB| = k·|A'B'|, |BC| = k·|B'C'|, |AC| = k·|A'C'|, kde k je kladné reálné číslo. Zvolíme libovolný bod D a zjistíme, jestli lze najít jednoznačně jeho obraz D'. 

Obrazek

 
Na obrázku je podobné zobrazení zvoleno pomocí bodů A, B, C, A', B', C'. Dále zvolíme bod D. Postup, jak najít bod D', je téměř stejný jako v důkazu obdobné věty o shodném zobrazení.
 
1. Definice podobného zobrazení říká, že poměr velikosti vzoru úsečky a velikosti jejího obrazu je konstantní. Označíme tuto konstantu k. To znamená, že vzdálenost bodu D' od bodu A' musí být rovna k·|AD|. Bod D' leží na kružnici se středem v bodě A' a poloměrem k·|AD|. Podobně bod D' musí ležet na kružnici se středem v bodě B' a poloměrem k·|BD|. Bod D' musí ležet na obou kružnicích, a tedy bude ležet v jejich průsečíku. Opět se dostáváme k otázce, ve kterém ze dvou průsečíků bod D' leží.
2. Použijeme bod C stejným způsobem jako body A a B. Bod D' musí ležet na kružnici se středem v bodě C' a poloměrem k·|CD|. Tato kružnice protne předchozí dvě v jednom z jejich společných průsečíků. Tento bod, ve kterém se protínají všechny tři kružnice, je bod D'.
 

Věta: Každé podobné zobrazení je prosté.

 

 

Důkaz: Máme ukázat, že obrazem dvou různých bodů X, Y jsou dva různé body X', Y'. Víme, že platí vztah |X'Y'| = k·|XY|. Body X, Y jsou různé, a proto je velikost úsečky XY nenulová. Koeficient k je podle definice podobného zobrazení také nenulový. Součin dvou nenulových čísel je číslo nenulové. Z toho plyne, že vzdálenost bodů X'Y' je nenulová a body X', Y' jsou tedy různé.

 

Tvrzení: V podobném zobrazení platí:

 

 

Obrazem přímky je přímka; obrazem kružnice je kružnice; obrazem polopřímky je polopřímka, jejíž počáteční bod je obrazem počátečního bodu vzoru polopřímky; obrazem úsečky je úsečka.


Podobné zobrazení s koeficientem k = 1 je shodné zobrazení. Tvrzení ihned plyne z definice shodného a podobného zobrazení. Také platí, že každé shodné zobrazení je podobné zobrazení s koeficientem podobnosti k = 1.

V kapitole o
shodných zobrazeních jsme zavedli pojmy přímo a nepřímo shodný trojúhelník jednak pomocí přesouvání trojúhelníků v rovině a také pomocí představy lávek. Pro zavedení pojmu přímo a nepřímo podobný trojúhelník použijeme téměř stejnou představu lávek, kterou již známe, jen trojúhelníky, které lávky tvoří, nejsou shodné, ale podobné. Pokud tedy chodíme po trojúhelnících z lávek s očíslovanými vrcholy, a zahýbáme ve vrcholech obou trojúhelníků vpravo či v obou vlevo, jsou trojúhelníky přímo podobné. Pokud zahýbáme v jednom vpravo a v jednom vlevo, jsou trojúhelníky nepřímo podobné.

Definice: Podobnost, ve které jsou obraz a vzor

trojúhelníku přímo podobné nazveme přímou podobností.

 Podobnost, ve které jsou obraz a vzor trojúhelníku nepřímo

 podobné nazveme nepřímou podobností.



Příklad 3.1
Je dáno podobné zobrazení s koeficientem podobnosti k a trojúhelník ABC, který má obsah S. Jaký obsah má trojúhelník A'B'C', který je obrazem trojúhelníku ABC v daném podobném zobrazení?
Řešení
Obsah trojúhelníku ABC spočítáme podle vzorce S = |AB|·v
AB, kde vAB je výška na

stranu AB.
Obsah trojúhelníku A'B'C' spočítáme podle vzorce S' = |A'B'|·v'
A'B', kde v'A'B' je výška na

stranu A'B'.
Úsečky A'B', v'A'B' jsou obrazy úseček AB, v
AB v podobném zobrazení s koeficientem k,

a proto mají velikost |A'B'| = k·|AB|, |v'A'B'| = k·|vAB|.


Vyjádříme obsah S' trojúhelníku A'B'C' pomocí obsahu S trojúhelníku ABC.
  S' = |A'B'|·v'A'B'

  S' = k·|AB|·k·v
AB
  S' = k2·|AB|·v
AB
  S' = k2·S
Obsah ΔABC je k2-násobkem obsahu ΔA'B'C'.

Tvrzení: Obsah S' obrazu U' útvaru U s obsahem S v

 podobném zobrazení s koeficientem k je k2-násobkem

 obsahu S. Tedy platí S' = k2·S.

 

Komentáře

Přidat komentář

Přehled komentářů

asd

(blbci, 8. 4. 2010 8:55)

je to tady nanic vubec sem to po vas nepochpil...jinak tadu je uzitecny odkaz http://1kspa.cz/kladno/stud_materialy/matematika/Podobnost_trojuhelniku.pdf

Re: asd

(Jojo, 16. 5. 2017 20:53)

To je mnohem lepší! Díky :D

Podobnost

(Trojuhelník, 26. 11. 2016 14:05)

Pěkně vysvětlené. Dík.

BLBOST

(mg, 14. 4. 2015 19:04)

taková nehorázná krávovina, většině z nás to bude úplně k hovnu :D

.

(Lucka, 6. 4. 2014 17:20)

Hodně nepřehledně napsané.
Myslím si,že by to šlo mnohem stručněji.Zbytečné.

Zakladka

(DarkAcer, 20. 2. 2014 18:30)

Omg ja to nechapu a to ztoho zejtra píšem..:/
Trošku to prosím upravte.

:D

(Soňa, 17. 2. 2014 9:06)

Je to fakt "krásně a přehledně" napsané :DD
Vůbec se v tom nevyznám,ale asi nejsem jediná, jak tak vidím...

:D

(Soňa, 17. 2. 2014 9:05)

Je to fakt "krásně a přehledně" napsané :DD
Vůbec se v tom nevyznám,ale asi nejsem jediná, jak tak vidím...

blbost

(maskot14, 20. 5. 2010 8:06)

Upne tO je blbOst kdO se v tom ma vyznat???...

Re: blbost

(Johny, 17. 1. 2013 21:30)

Presne mas pravdu

nechapu

(rene, 30. 10. 2012 17:15)

ku.... nechaputo je to v pi...

Re: nechapu

(Johny, 17. 1. 2013 21:29)

:D

dddddd

(BLBOST, 13. 12. 2012 16:53)

Na klid taky to tady nechápu :D......

zbytečně složitý

(anonymka , 12. 4. 2012 21:07)

nevyznám se v tom :DDD

...

(Lila, 26. 10. 2011 17:39)

Krucii nechápu too:((

Chyba

(parez, 16. 6. 2011 14:06)

pěkný, akorát obsah trojúhelníku je S = |AB|.vAB / 2 a ne to co tvrdí autor.

Zbytečně složitě

(anonym, 25. 11. 2010 15:23)

Ten článek je napsaný pěkně, ale jako by to bylo ze skript na vysoké škole. Přitom podobnost trojúhelníků se učí lidi na základce, takže je asi zbytečné takhle jim komplikovat život.

lol debilni

(fcs, 20. 5. 2010 8:05)

mam dost nechapu to boze

hfsliasugfaukgfk

(ladam, 4. 2. 2010 10:47)

Já to taky nechápu, takže buďte všichni v pohodě

ghffffffffffffff

(hhhhfff, 3. 1. 2010 19:48)

Hm tak dobře xD ....stejnak nechápu



 

 

 

Z DALŠÍCH WEBŮ

REKLAMA