Jdi na obsah Jdi na menu
 


Pythagorova větaObrazek
Pythagorova věta popisuje vztah, který platí mezi délkami stran pravoúhlých trojúhelníků v rovině. Umožňuje dopočítat délku třetí strany takového trojúhelníka, pokud jsou známy délky dvou zbývajících stran.
Věta zní: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou (nejdelší stranou) pravoúhlého rovinného trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami (dvěma kratšími stranami).

 

 

Formálně Pythagorovu větu vyjadřuje tato rovnice:

kde písmeno c označuje délku přepony pravoúhlého trojúhelníka a délky odvěsen jsou označeny jako a a b.
Historie
Věta byla pojmenována podle Pythagora, jenž ji v 6. století př. n. l. objevil pro Evropu, resp. starověké Řecko. Pravděpodobně však byla známa i v jiných starověkých civilizacích dávno předtím (v Číně, částečně např. v Egyptě).
 
Příklad
Obdélníkové náměstí má délky stran 30 a 40 metrů. Kolik metrů bude měřit cesta, která povede po úhlopříčce náměstí rovně z jednoho rohu do druhého?
Řešení: Představme si jeden ze dvou trojúhelníků, na něž cesta náměstí rozdělí.
Součet čtverců délek jeho odvěsen (stran náměstí) je 30² m² + 40² m² = 900 m² + 1600 m² = 2500 m².
Toto číslo se podle Pythagorovy věty zároveň rovná čtverci přepony trojúhelníka. Stačí je tedy odmocnit, a dostaneme délku přepony. Odmocnina z 2500 m² je 50 m, a to je hledaná délka úhlopříčné cesty.Obrazek
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Důkazy Pythagorovy věty

Důkazů Pythagorovy věty existuje velmi mnoho, uvádí se až 300. Zde je několik z nich.
Důkaz
Jedná se o grafický důkaz. Čtverec o straně a + b můžeme složit dvěma způsoby (viz obrázek):
§ ze 4 pravoúhlých trojúhelníků a dvou čtverců délkách stran a a b
§ ze 4 pravoúhlých trojúhelníků a jednoho čtverce o straně c
Z rovnosti obsahu čtverce při obou způsobech složení pak plyne i Pythagorova věta.
 
Pythagorejská čísla
Pythagorejská čísla tvoří trojice přirozených čísela,b,c takových, že platí a2 + b2 = c2. Jsou to tedy přirozená čísla vyhovující Pythagorově větě. Pythagorejská čísla jsou např. 3,4 a 5. Pythgorejská čísla lze vytvořit podle následující věty:

Čísla a,b,c jsou pythagorejská právě tehdy, když jsou vyjádřit ve tvaru pro nějaká přirozená čísla x,y s vlastností x > yObrazek

 
 

 

 

 

 

 

 

 

Příklady

Asi bude nejlepší vysvětlit Pythagorovu větu na příkladech. Takže příklad 1: Je dán trojúhelník ABC; a = 3, b = 4. Vypočtěte délku strany c, pokud strany a a b svírají pravý úhel.

Aplikací předchozího vzorce dostáváme tento vztah: c = √(a2 + b2). Umocníme dvě kratší strany, sečteme je a následně odmocníme. Vychází nám toto: c = √(9 + 16) = √25 = 5. Strana c má délku 5.

2: Podobný příklad, opět máme pravoúhlý trojúhelník ABC a známe tyto strany c = 17, a = 15. Dopočítejte stranu b, pokud strany a a b svírají pravý úhel.

Nyní musíme vzorec upravit takto: b = √(c2 − a2), po dosazení dostáváme b = √(289 − 225) = √64 = 8. Výsledek je, že strana b má délku 8.

3: Teď jeden z praxe, aspoň trochu. Jak dlouhý musí být žebřík, pokud chceme vylézt do výšky deset metrů a dole bude žebřík vzdálen od budovy tři metry?

Opět si zde představíme jednoduchý trojúhelník - přepona je délka žebříku a odvěsny jsou výška budovy a vzdálenost od budovy. Nyní už jen dosadíme do vzorce a vychází nám d = √(100 + 9) = √109 což už se nedá upravit na nic moc hezčího, ale v praxi nám tohle číslo bude na nic, takže po odmocnění získáme přibližně deset a půl metrů.

Doufám, že je Pythagorova věta jasná, není na ní nic těžkého a nepochopitelného...

 
 

 

 

Z DALŠÍCH WEBŮ

REKLAMA