Jdi na obsah Jdi na menu
 


3 Podobná zobrazení
Nejdříve si připomeneme definici podobného zobrazení.

Definice: O zobrazení Z: X → X' řekneme, že je to

zobrazení podobné, jestliže existuje kladné reálné číslo k

 tak, že obrazem každé úsečky AB je úsečka A'B', pro

kterou platí |A'B'| = k·|AB|. Číslo k nazýváme koeficient

 podobnosti.

3.1 Vlastnosti podobných zobrazení
Stejně jako shodné zobrazení je jednoznačně zadáno třemi body a jejich obrazy, je i podobné zobrazení takto jednoznačně zadáno.

Věta: Shodné zobrazení je jednoznačně zadané třemi

různými nekolineárními body a jejich obrazy.


Poznámka: Obrazy bodů musí samozřejmě splňovat požadavky pro podobné zobrazení. Trojúhelník určený obrazy bodů musí být podobný trojúhelníku, který určují vzory bodů.

Důkaz: Zvolíme tři nekolineární body A, B, C. Dále k nim vhodně zvolíme jejich obrazy A', B', C' tak, aby platilo: |AB| = k·|A'B'|, |BC| = k·|B'C'|, |AC| = k·|A'C'|, kde k je kladné reálné číslo. Zvolíme libovolný bod D a zjistíme, jestli lze najít jednoznačně jeho obraz D'. 

Obrazek

 
Na obrázku je podobné zobrazení zvoleno pomocí bodů A, B, C, A', B', C'. Dále zvolíme bod D. Postup, jak najít bod D', je téměř stejný jako v důkazu obdobné věty o shodném zobrazení.
 
1. Definice podobného zobrazení říká, že poměr velikosti vzoru úsečky a velikosti jejího obrazu je konstantní. Označíme tuto konstantu k. To znamená, že vzdálenost bodu D' od bodu A' musí být rovna k·|AD|. Bod D' leží na kružnici se středem v bodě A' a poloměrem k·|AD|. Podobně bod D' musí ležet na kružnici se středem v bodě B' a poloměrem k·|BD|. Bod D' musí ležet na obou kružnicích, a tedy bude ležet v jejich průsečíku. Opět se dostáváme k otázce, ve kterém ze dvou průsečíků bod D' leží.
2. Použijeme bod C stejným způsobem jako body A a B. Bod D' musí ležet na kružnici se středem v bodě C' a poloměrem k·|CD|. Tato kružnice protne předchozí dvě v jednom z jejich společných průsečíků. Tento bod, ve kterém se protínají všechny tři kružnice, je bod D'.
 

Věta: Každé podobné zobrazení je prosté.

 

 

Důkaz: Máme ukázat, že obrazem dvou různých bodů X, Y jsou dva různé body X', Y'. Víme, že platí vztah |X'Y'| = k·|XY|. Body X, Y jsou různé, a proto je velikost úsečky XY nenulová. Koeficient k je podle definice podobného zobrazení také nenulový. Součin dvou nenulových čísel je číslo nenulové. Z toho plyne, že vzdálenost bodů X'Y' je nenulová a body X', Y' jsou tedy různé.

 

Tvrzení: V podobném zobrazení platí:

 

 

Obrazem přímky je přímka; obrazem kružnice je kružnice; obrazem polopřímky je polopřímka, jejíž počáteční bod je obrazem počátečního bodu vzoru polopřímky; obrazem úsečky je úsečka.


Podobné zobrazení s koeficientem k = 1 je shodné zobrazení. Tvrzení ihned plyne z definice shodného a podobného zobrazení. Také platí, že každé shodné zobrazení je podobné zobrazení s koeficientem podobnosti k = 1.

V kapitole o
shodných zobrazeních jsme zavedli pojmy přímo a nepřímo shodný trojúhelník jednak pomocí přesouvání trojúhelníků v rovině a také pomocí představy lávek. Pro zavedení pojmu přímo a nepřímo podobný trojúhelník použijeme téměř stejnou představu lávek, kterou již známe, jen trojúhelníky, které lávky tvoří, nejsou shodné, ale podobné. Pokud tedy chodíme po trojúhelnících z lávek s očíslovanými vrcholy, a zahýbáme ve vrcholech obou trojúhelníků vpravo či v obou vlevo, jsou trojúhelníky přímo podobné. Pokud zahýbáme v jednom vpravo a v jednom vlevo, jsou trojúhelníky nepřímo podobné.

Definice: Podobnost, ve které jsou obraz a vzor

trojúhelníku přímo podobné nazveme přímou podobností.

 Podobnost, ve které jsou obraz a vzor trojúhelníku nepřímo

 podobné nazveme nepřímou podobností.



Příklad 3.1
Je dáno podobné zobrazení s koeficientem podobnosti k a trojúhelník ABC, který má obsah S. Jaký obsah má trojúhelník A'B'C', který je obrazem trojúhelníku ABC v daném podobném zobrazení?
Řešení
Obsah trojúhelníku ABC spočítáme podle vzorce S = |AB|·v
AB, kde vAB je výška na

stranu AB.
Obsah trojúhelníku A'B'C' spočítáme podle vzorce S' = |A'B'|·v'
A'B', kde v'A'B' je výška na

stranu A'B'.
Úsečky A'B', v'A'B' jsou obrazy úseček AB, v
AB v podobném zobrazení s koeficientem k,

a proto mají velikost |A'B'| = k·|AB|, |v'A'B'| = k·|vAB|.


Vyjádříme obsah S' trojúhelníku A'B'C' pomocí obsahu S trojúhelníku ABC.
  S' = |A'B'|·v'A'B'

  S' = k·|AB|·k·v
AB
  S' = k2·|AB|·v
AB
  S' = k2·S
Obsah ΔABC je k2-násobkem obsahu ΔA'B'C'.

Tvrzení: Obsah S' obrazu U' útvaru U s obsahem S v

 podobném zobrazení s koeficientem k je k2-násobkem

 obsahu S. Tedy platí S' = k2·S.

 

Komentáře

Přidat komentář

Přehled komentářů

fsd

(fdsfds, 23. 8. 2009 1:16)

Jakoze sem to vubec nepochopil



 

 

 

Z DALŠÍCH WEBŮ

REKLAMA